Не путайте математику и информатику

Информатика — это теория вычислений. Если и относить информатику к математике, то это будет её очень специфический и периферийный раздел. По сути, математика и информатика — разные виды мышления.

Таблица умножения важна для вычислений, а с точки зрения математики её знать наизусть ничем не лучше, чем выучить простые числа до ста или степени двойки.

Пример.

Знание того, что 12 × 13 = 13 × 12, это математика. А алгоритм умножения 12 на 13 в столбик — это информатика.

Таблица умножения — часть массовой культуры

Дважды два — четыре,
Дважды два четыре,
А не пять и не семь —
Это ясно всем.

Таблица умножения — интернациональная часть массовой культуры. Мы ожидаем от любого сколько-нибудь цивилизованного человека, что он таблицей умножения владеет. Может быть, он забыл, что шесть на девять — пятьдесят четыре, но мы предполагаем, что он имеет представление о том, что такое таблица умножения и как ею пользоваться.

Как таблица умножения заняла такое важное место

Если ещё сто лет назад человеку нужно было что-то подсчитать, то был только один способ — переключить собственный мозг в режим калькулятора. В таком специфическом режиме работы мозга ничего хорошего нет, это происходило от безысходности. То есть, пока у нас не было настоящих калькуляторов, нам приходилось использовать встроенный в голову: очень кривой, косой, с большим количеством ошибок. Но если другого нет, то хорошо, что есть хотя бы такой.

Государствам в 18-19 веках были нужны вычислительные мощности, а единственное вычислительное устройство, которое было на тот момент доступно — живые люди.

Важнейшие алгоритмы ручных вычислений — умножение и деление в столбик. Зубрёжка таблицы умножения — часть этих алгоритмов, это помещение в кеш. Если поместить в кэш все значения умножения всех пар чисел до девяти, то работа пойдёт гораздо быстрее. Не считать каждый раз 8 + 8 = 16, 16 + 8 = 24, 24 + 8 = 32, 32 + 8 = 40, а сразу иметь результат, что 5 × 8 = 40.

Вот поэтому таблицу умножения учили в 19 веке.

А в 20 веке придумали, как ещё упростить занесение значений в кеш: таблицу Пифагора разложили в список.

С точки зрения вычислений список эффективнее

Таблицу умножения изучают в детстве

С таблицей умножения знакомятся в очень юном возрасте, когда человек не способен критически воспринимать информацию. Он не может оценить, нужно это или не нужно, интересно — не интересно, полезно — бесполезно. Взрослые приносят говорят таблицу умножения и говорят: от сих до сих.

Когда появились другие, настоящие вычислительные устройства, таблица умножения потеряла свою важность для вычислений, но остаётся важной частью массовой культуры.

Таблица умножения ныне не отличается по значению от таблиц Брадиса или других справочников. На фото — «Шестизначные таблицы тригонометрических функций» И. Петерса и «Руководство и таблицы по короткобазисной параллактической полигонометрии» Л. Недешевой и Н. Романова

Сделаем таблицу умножения более полезной для изучения математики

Если дети всё равно уже учат наизусть таблицу (список) умножения, нужно её переосмыслить и сделать полезнее для настоящей математики.

Первое. Люди должны понимать, что умножение это структура, которая работает на всех натуральных числах. Потому надо изображать таблицу, простирающейся бесконечно вниз и вправо до границ формата носителя.

Если ряд или столбец не вмещаются полностью, ничего страшного, можно резать прямо по цифрам

Второе. Таблица умножения может работать и в обратную сторону (таблица разложения на множители). Должна быть возможность взять число, посмотреть в таблицу и понять, какие у него варианты множителей. Это решается тем, что нарисованы изолинии, подобные линиям высот на географических картах. Так человеку проще отследить значения, попадающие в определённый диапазон.

Квадраты чисел находятся на диагонали, которую акцентируют носики изолиний

Третье усовершенствование — подложки под числами раскрашены в разные цвета, в соответствии с их сложностью с точки зрения количества простых множителей.

23 — простое число, а 24 — делится на 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Поэтому строка и столбец 23 будут очень светлыми, а 24 — довольно тёмными

Тетрадь по математике с новой таблицей умножения. На обложке — Леонард Эйлер

Что можно сделать в версии 2.0

1. Докрутить цветовую шкалу.
2. Использовать избыточность таблицы и числа выше диагонали квадратов окрашивать по одному принципу, а ниже — по другому.
3. Можно раскрашивать числа не по принципу их простоты, а в зависимости от частоты встречаемости в данном множестве.
4. Выделить бесквадратные числа.
5. Показывать относительную сложность чисел.
6. Выделить степени двойки.
7. Проверить несколько идиотских гипотез: подсветить числа, заканчивающиеся на единицу, вдруг появится интересный паттерн.
8. Раскрасить числа согласно функции Эйлера.
9. Показать квадратичные вычеты.
10. Показать классы Хассе.
11. Попробовать другие варианты изолиний.