Манифест таблицы умножения
Не путайте математику и информатику
Информатика — это теория вычислений. Если и относить информатику к математике, то это будет её очень специфический и периферийный раздел. По сути, математика и информатика — разные виды мышления.
Таблица умножения важна для вычислений, а с точки зрения математики её знать наизусть ничем не лучше, чем выучить простые числа до ста или степени двойки.
Пример.
Знание того, что 12 × 13 = 13 × 12, это математика. А алгоритм умножения 12 на 13 в столбик — это информатика.
Таблица умножения — часть массовой культуры
Дважды два — четыре,
Дважды два четыре,
А не пять и не семь —
Это ясно всем.
Таблица умножения — интернациональная часть массовой культуры. Мы ожидаем от любого сколько-нибудь цивилизованного человека, что он таблицей умножения владеет. Может быть, он забыл, что шесть на девять — пятьдесят четыре, но мы предполагаем, что он имеет представление о том, что такое таблица умножения и как ею пользоваться.
Как таблица умножения заняла такое важное место
Если ещё сто лет назад человеку нужно было что-то подсчитать, то был только один способ — переключить собственный мозг в режим калькулятора. В таком специфическом режиме работы мозга ничего хорошего нет, это происходило от безысходности. То есть, пока у нас не было настоящих калькуляторов, нам приходилось использовать встроенный в голову: очень кривой, косой, с большим количеством ошибок. Но если другого нет, то хорошо, что есть хотя бы такой.
Государствам в 18-19 веках были нужны вычислительные мощности, а единственное вычислительное устройство, которое было на тот момент доступно — живые люди.
Важнейшие алгоритмы ручных вычислений — умножение и деление в столбик. Зубрёжка таблицы умножения — часть этих алгоритмов, это помещение в кеш. Если поместить в кэш все значения умножения всех пар чисел до девяти, то работа пойдёт гораздо быстрее. Не считать каждый раз 8 + 8 = 16, 16 + 8 = 24, 24 + 8 = 32, 32 + 8 = 40, а сразу иметь результат, что 5 × 8 = 40.
Вот поэтому таблицу умножения учили в 19 веке.
А в 20 веке придумали, как ещё упростить занесение значений в кеш: таблицу Пифагора разложили в список.
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-tetrad-1@2x.jpg)
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-tetrad-2@2x.jpg)
Таблицу умножения изучают в детстве
С таблицей умножения знакомятся в очень юном возрасте, когда человек не способен критически воспринимать информацию. Он не может оценить, нужно это или не нужно, интересно — не интересно, полезно — бесполезно. Взрослые приносят говорят таблицу умножения и говорят: от сих до сих.
Когда появились другие, настоящие вычислительные устройства, таблица умножения потеряла свою важность для вычислений, но остаётся важной частью массовой культуры.
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-primer-1@2x.jpg)
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-primer-2@2x.jpg)
Сделаем таблицу умножения более полезной для изучения математики
Если дети всё равно уже учат наизусть таблицу (список) умножения, нужно её переосмыслить и сделать полезнее для настоящей математики.
Первое. Люди должны понимать, что умножение это структура, которая работает на всех натуральных числах. Потому надо изображать таблицу, простирающейся бесконечно вниз и вправо до границ формата носителя.
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-shag-001@2x.jpg)
Второе. Таблица умножения может работать и в обратную сторону (таблица разложения на множители). Должна быть возможность взять число, посмотреть в таблицу и понять, какие у него варианты множителей. Это решается тем, что нарисованы изолинии, подобные линиям высот на географических картах. Так человеку проще отследить значения, попадающие в определённый диапазон.
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-shag-002-1@2x.jpg)
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-shag-002-2@2x.jpg)
Третье усовершенствование — подложки под числами раскрашены в разные цвета, в соответствии с их сложностью с точки зрения количества простых множителей.
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-shag-003@2x.jpg)
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-tetrad-0@2x.jpg)
![](http://blog.dasprut.ru/pictures/tablitsa-pifagora-tetrad-00@2x.jpg)
Что можно сделать в версии 2.0
- Докрутить цветовую шкалу.
- Использовать избыточность таблицы и числа выше диагонали квадратов окрашивать по одному принципу, а ниже — по другому.
- Можно раскрашивать числа не по принципу их простоты, а в зависимости от частоты встречаемости в данном множестве.
- Выделить бесквадратные числа.
- Показывать относительную сложность чисел.
- Выделить степени двойки.
- Проверить несколько идиотских гипотез: подсветить числа, заканчивающиеся на единицу, вдруг появится интересный паттерн.
- Раскрасить числа согласно функции Эйлера.
- Показать квадратичные вычеты.
- Показать классы Хассе.
- Попробовать другие варианты изолиний.